2 2 圆锥曲线知识点回顾
1. 椭圆的性质
条件 {M|MF 1 |+|MF 2 |=2a ， 2a ＞ |F 1 F 2 |}
|MF 1
| |MF 2 | {M| 点M到l 1 的距离 = 点M到l 的距离 2 = e， 0＜e＜1}
标准方程 x 2 a 2 y 2 b 2 1(a＞b＞ 0) x 2 y2 b 2 a 2 1(a＞ b＞ 0) 顶点 A 1 (－ a ， 0)， A 2 (a ， 0) B 1 (0 ，－ b) ， B 2 (0 ， b) A 1 (0 ，－ a) ， A 2 (0 ， a) B 1 (－ b ， 0) ， B 2 (b ， 0) 轴 对称轴：
x 轴， y 轴．长轴长 |A 1 A 2 |=2a ，短轴长 |B 1 B 2 |=2b 焦点 F 1 (－ c ， 0)， F 2 (c ， 0) F 1 (0 ，－ c)， F 2 (0 ， c) 焦距 |F 1 F 2 |=2c(c ＞ 0)， c 2 =a 2 － b 2
离心率 e＝ c (0 ＜e＜1) a a 2 a 2 准线方程 l 1 ：
x＝ ； l 2
：
x＝ c c |MF 1 |＝ a＋ ex 0 ， a 2 a 2 l 1
：
y＝
； l 2
：
y＝ c
c |MF 1 |＝ a ＋ ey 0 ， 焦点半径 |MF 2 |＝ a－ ex 0 |MF 2 |＝ a － ey 0 ＞ 外 点和椭圆 x y 0
0
1 (x , y ) 在椭圆上 的关系 2 0 0 a b ＜ 内
(k 为切线斜率 )， y＝ kx± a 2
k 2
b 2 (k 为切线斜率 )， y＝ kx ± b 2
k 2
a 2
切线方程 x 0 x ＋ a 2 y 0
y ＝ 1 b2 x 0
x ＋ b 2 y 0
y ＝1 a2
(x 0
， y 0 ) 为切点 (x 0 ， y 0 )在椭圆外 (x 0
， y 0 ) 为切点 (x 0 ， y 0 )在椭圆外 切点弦 方 程 x 0
x ＋ a 2 y 0
y ＝1 b 2 x 0
x ＋ b 2 y 0
y ＝1 a 2
|x － x
| 1 + k 2 或|y － y
| 1 + 1 2 1 1 2 2 k 弦长公式 其中 (x 1 ， y 1 ) ，(x 2 ， y 2 )为割弦端点坐标， k 为割弦所在直 线的斜率
e 越大椭圆越扁； e 越小椭圆越圆。
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2. 双曲线的性质
P ＝ {M|MF 1 |－|MF 2 |＝ 2a ， a ＞ 0 ， 2a ＜ |F 1 F 2 |} ． 条件 P ＝ {M| |MF 1 | 点 M 到 l 1 的距离 ＝ |MF 2
| 点 M 到 l 2 的距离 ＝ e ， e ＞ 1} ．
标准方程 x y 2 － a 2 b 2
＝1(a＞ 0，b＞ 0) y x 2 － a 2 b 2
＝ 1(a＞ 0， b＞ 0)
顶点 A 1 ( － a ， 0)， A 2 (a ， 0) A 1 (0 ，－ a)， A 2 (0 ， a) 轴 对称轴：
x 轴， y 轴，实轴长 |A 1 A 2 |＝ 2a ，虚轴长 |B 1 B 2 |＝ 2b 焦点 F 1 (－ c ， 0)， F 2 (c ， 0) F 1 (0 ，－ c) ， F 2 (0 ， c) 焦距 |F 1 F 2 |＝ 2c(c ＞ 0) ， c 2 ＝ a 2 ＋ b 2 离心率 e＝ c (e＞1) a a 2 准线方程 l 1 ：x＝－ c a2 ；l 2
：
x＝ c l 1 ：
y＝－ a2 a2 ； l 2
：
y＝ c c 渐近线 y＝± 方 程 b x( 或a x y 2 a2
－ b 2
＝ 0)
y＝±
a x( 或 y b a 2 x 2 － b2
＝ 0) 共渐近线的双曲线系方程 x y 2 － a 2 b 2
＝k(k ≠ 0) y x 2 － a 2 b 2
＝ k(k≠ 0) |MF 1 |＝ ex 0 ＋ a ， |MF 1 |＝ ey 0 ＋ a， 焦点半径 |MF y 2 |＝ ex 0 －2 2a 2 |MF 2 |＝ ey 0 －2 2a 2 ＝kx± a
k b y＝kx ± b
k a
(k 为切线斜率 ) (k 为切线斜率 ) k＞ b 或k＜－ b k＞ a 或k＜－ a x 0
x a y 0
y a y 0
y b x 0
x b 切线方程 － ＝1 a 2 b 2 － ＝1 a 2 b 2
((x 0 ， y 0 )为切点 ((x 0 ， y 0 )为切点 xy＝ a 2
的切线方程：
x 0
y
y 0
x ＝ a2 ((x 2 0 ，y 0 ) 为切点
(x 0 ， y 0 ) 在双曲线外 (x 0 ， y 0 ) 在双曲线外 切点弦 方 程 x 0
x － a y 0
y ＝ 1 b y 0
y － a x 0
x ＝ 1 b |x － x | 1 +
k 2 或 |y － y | 1 + 1 2 1 1 2 k 弦长公式 其中 (x 1
， y 1 ) ， (x 2 ， y 2 ) 为割弦端点坐标， k 为 割弦所在直线的斜率
（ 1）双曲线的概念 平 面 上 与 两 点 距 离 的 差 的 绝 对 值 为 非 零 常 数 的 动 点 轨 迹 是 双 曲 线 （ || PF 1
| | PF 2
|| 2a ）
。
注意：
①式中是差的绝对值， 在 0 2a | F 1 F 2
| 条件下； | PF 1 | | PF 2
| 2a 时为双曲 2 2
线的一支； | PF 2 | | PF 1 | 2a 时为双曲线的另一支（含 F 1
的一支）；②当 2 a | F 1 F 2
| 时， || PF 1
| | PF 2 || 2a 表示两条射线；③当 2a | F 1 F 2 | 时， || PF 1 | | PF 2 || 2a 不表示任何 图形；④两定点 F 1 , F 2
叫做双曲线的焦点， | F 1 F 2 | 叫做焦距。
(2) 等轴双曲线：
定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：
a b ； e 越大 , 双曲线开口越宽； e 越小 , 双曲线开口越窄。
3. 抛物线中的常用结论
(4). 圆锥曲线 (椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线 )的统一定义
与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线，
定点叫做焦点，定直线叫做准线、常数叫做离心率，用 e 表示，当 0＜e＜ 1 时， 是椭圆，当 e＞ 1 时，是双曲线，当 e＝ 1 时，是抛物线． 标准方程 y2 ( p l y 2 px 0) y2 ( p 2 px 0) x2 ( p 2 py 0) x2 ( p 2 py 0) y y l 图形 o F x F o x l F o x 焦点坐标 ( ,0) 2 p ( p 2 ,0) (0, p 2 ) (0, p 2 p 2 0 ) 准线方程 x 范围 对称性 顶点离心率 x p 2 0 x x p 2 0 y y p 2 0 y y x 轴 (0,0) x 轴 (0,0) y 轴 (0,0) y 轴 (0,0) e 1 e 1 e 1 e 1
