初中几何证明定理、题目和答案
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初中几何证明定理、题目和答案

2020-10-17 08:07:41 投稿作者: 点击:

 题一

 1、已知:如图,O 是半圆的圆心,C、E 是圆上的两点,CD⊥AB,EF⊥AB,EG⊥CO. 求证:CD=GF.

  2、已知:如图,P 是正方形 ABCD 内点,∠PAD=∠PDA=15 0 .

 求证:△PBC 是正三角形.

  A P C D B A F G C E B O D

 3、如图,已知四边形 ABCD、A 1 B 1 C 1 D 1 都是正方形,A 2 、B 2 、C 2 、D 2 分别是 AA 1 、BB 1 、CC 1 、DD 1 的中点. 求证:四边形 A 2 B 2 C 2 D 2 是正方形.

 4、已知:如图,在四边形 ABCD 中,AD=BC,M、N 分别是 AB、CD 的中点,AD、BC的延长线交 MN 于 E、F. 求证:∠DEN=∠F.

 D 2 C 2 B 2 A 2 D 1 C 1 B 1 C B D A A 1 A N F E C D M B

 题二

 1、已知:△ABC 中,H 为垂心(各边高线的交点),O 为外心,且 OM⊥BC 于 M.

 (1)求证:AH=2OM;

 (2)若∠BAC=60 0 ,求证:AH=AO.

  2、设 MN 是圆 O 外一直线,过 O 作 OA⊥MN 于 A,自 A 引圆的两条直线,交圆于 B、C及 D、E,直线 EB 及 CD 分别交 MN 于 P、Q. 求证:AP=AQ.

  · A D H E M C B O · G A O D B E C Q P N M

 P C G F B Q A D E 3、如果上题把直线 MN 由圆外平移至圆内,则由此可得以下命题:

 设 MN 是圆 O 的弦,过 MN 的中点 A 任作两弦 BC、DE,设 CD、EB 分别交 MN于 P、Q. 求证:AP=AQ.

 4、如图,分别以△ABC 的 AC 和 BC 为一边,在△ABC 的外侧作正方形 ACDE 和正方形CBFG,点 P 是 EF 的中点. 求证:点 P 到边 AB 的距离等于 AB 的一半.

 · O Q P B D E C N M · A

 题三

 1、如图,四边形 ABCD 为正方形,DE∥AC,AE=AC,AE 与 CD 相交于 F. 求证:CE=CF.

 2、如图,四边形 ABCD 为正方形,DE∥AC,且 CE=CA,直线 EC 交 DA 延长线于 F. 求证:AE=AF.

 A F D E C B E D A C B F

 3、设 P 是正方形 ABCD 一边 BC 上的任一点,PF⊥AP,CF 平分∠DCE. 求证:PA=PF.

  4、如图,PC 切圆 O 于 C,AC 为圆的直径,PEF 为圆的割线,AE、AF 与直线 PO 相交于B、D.求证:AB=DC,BC=AD.

  D F E P C B A O D B F A E C P

 题四

 1、已知:△ABC 是正三角形,P 是三角形内一点,PA=3,PB=4,PC=5. 求:∠APB 的度数.

  2、设 P 是平行四边形 ABCD 内部的一点,且∠PBA=∠PDA. 求证:∠PAB=∠PCB.

  3、设 ABCD 为圆内接凸四边形,求证:AB·CD+AD·BC=AC·BD.

 4、平行四边形 ABCD 中,设 E、F 分别是 BC、AB 上的一点,AE 与 CF 相交于 P,且 AE=CF.求证:∠DPA=∠DPC.

 A P C B P A D C B C B D A F P D E C B A

 题五

 1、设 P 是边长为 1 的正△ABC 内任一点,L=PA+PB+PC,求证:

 ≤L<2.

  2、已知:P 是边长为 1 的正方形 ABCD 内的一点,求 PA+PB+PC 的最小值.

 A

 P

 C

 B

 A

 C

 B

 P

 D

 3、P 为正方形 ABCD 内的一点,并且 PA=a,PB=2a,PC=3a,求正方形的边长.

 4、如图,△ABC 中,∠ABC=∠ACB=80 0 ,D、E 分别是 AB、AC 上的点,∠DCA=30 0 ,∠EBA=20 0 ,求∠BED 的度数.

  A

 C

 B

 P

 D

 E

 D

 C

 B

 A

 答案一

 1.如下图做 GH⊥AB,连接 EO。由于 GOFE 四点共圆,所以∠GFH=∠OEG, 即△GHF∽△OGE,可得EOGF=GOGH=COCD,又 CO=EO,所以 CD=GF 得证。

  2. 如下图做△DGC 使与△ADP 全等,可得△PDG 为等边△,从而可得 △DGC≌△APD≌△CGP,得出 PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG=15 0 所以∠DCP=30 0 ,从而得出△PBC 是正三角形

 3. 如下图 连接 BC 1 和 AB 1 分别找其中点 F,E.连接 C 2 F 与 A 2 E 并延长相交于 Q 点, 连接 EB 2 并延长交 C 2 Q 于 H 点,连接 FB 2 并延长交 A 2 Q 于 G 点, 由 A 2 E=12A 1 B 1 =12B 1 C 1 = FB 2 ,EB 2 =12AB=12BC=F C 1 ,又 ∠GFQ+∠Q=90 0 和 ∠GE B 2 + ∠Q=90 0 ,所以∠GE B 2 = ∠GFQ 又∠B 2 FC 2 =∠A 2 EB 2

 , 可得△B 2 FC 2 ≌△A 2 EB 2

 ,所以 A 2 B 2 =B 2 C 2

 ,

 又∠GFQ+∠HB 2 F=90 0 和∠GFQ=∠EB 2 A 2

 , 从而可得∠A 2 B 2

 C 2 =90 0 , 同理可得其他边垂直且相等, 从而得出四边形 A 2 B 2 C 2 D 2 是正方形。

  4. 如下图 连接 AC 并取其中点 Q,连接 QN 和 QM,所以可得 ∠QMF=∠F,∠QNM=∠DEN 和∠QMN=∠QNM,从而得出∠DEN=∠F。

  答案二

 1.(1)延长 AD 到 F 连 BF,做 OG ⊥AF, 又∠F=∠ACB=∠BHD, 可得 BH=BF,从而可得 HD=DF, 又 AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM

 (2)连接 OB,OC,既得 ∠BOC=120 0 ,

  从而可得∠BOM=60 0 ,

  所以可得 OB=2OM=AH=AO, 得证。

  3.作 OF ⊥ CD,OG ⊥BE,连接 OP,OA,OF,AF,OG,AG,OQ。

  由于22AD AC CD FD FDAB AE BE BG BG= = = = ,

  由此可得△ADF≌△ABG,从而可得∠AFC=∠AGE。

  又因为 PFOA 与 QGOA 四点共圆,可得∠AFC=∠AOP 和∠AGE=∠AOQ,

  ∠AOP=∠AOQ,从而可得 AP=AQ。

  4.过 E,C,F 点分别作 AB 所在直线的高 EG,CI,FH。可得 PQ=2EG FH +。

  由△EGA≌△AIC,可得 EG=AI,由△BFH≌△CBI,可得 FH=BI。

  从而可得 PQ=

 2AI BI += 2AB,从而得证。

  答案三

 1.顺时针旋转 △ADE,到△ABG,连接 CG.

  由于 ∠ABG=∠ADE=90 0 +45 0 =135 0

 从而可得 B,G,D 在一条直线上,可得△AGB≌△CGB。

  推出 AE=AG=AC=GC,可得△AGC 为等边三角形。

  ∠AGB=30 0 ,既得∠EAC=30 0 ,从而可得∠A EC=75 0 。

  又∠EFC=∠DFA=45 0 +30 0 =75 0 .

  可证:CE=CF。

  2.连接 BD 作 CH ⊥DE,可得四边形 CGDH 是正方形。

 由 AC=CE=2GC=2CH,

  可得∠CEH=30 0 ,所以∠CAE=∠CEA=∠AED=15 0 ,

 又∠FAE=90 0 +45 0 +15 0 =150 0 , 从而可知道∠F=15 0 ,从而得出 AE=AF。

  3.作 FG ⊥ CD,FE ⊥BE,可以得出 GFEC 为正方形。

  令 AB=Y ,BP=X ,CE=Z ,可得 PC=Y-X 。

  tan∠BAP=tan∠EPF=XY=ZY X Z - +,可得 YZ=XY-X 2 +XZ,

  即 Z(Y-X)=X(Y-X) ,既得 X=Z ,得出△ABP≌△PEF ,

  得到 PA=PF ,得证 。

 答案四

 1. 顺时针旋转 △ABP

 60 0

 ,连接 PQ ,则△PBQ 是正三角形。

 可得 △PQC 是直角三角形。

 所以∠APB=150 0

 。

  2.作过 P 点平行于 AD 的直线,并选一点 E,使 AE∥DC,BE∥PC. 可以得出 ∠ABP=∠ADP=∠AEP,可得:

 AEBP 共圆(一边所对两角相等)。

 可得∠BAP=∠BEP=∠BCP,得证。

  3.在 BD 取一点 E,使 ∠BCE=∠ACD,既得△BEC∽△ADC,可得:

 BEBC=ADAC,即 AD•BC=BE•AC,

  ①

  又∠ACB=∠DCE,可得△ABC∽△DEC,既得

  ABAC=DEDC,即 AB•CD=DE•AC,

  ②

  由①+②可得: AB•CD+AD•BC=AC(BE+DE)= AC·BD ,得证。

  4.过 D 作 AQ ⊥AE ,AG⊥CF ,由ADES =2ABCDS=DFCS ,可得:

  2A E P Q=2AE PQ,由 AE=FC。

  可得 DQ=DG,可得∠DPA=∠DPC(角平分线逆定理)。

  答案五

 1.(1)顺时针旋转 △BPC 60 0

 ,可得△PBE 为等边三角形。

 既得 PA+PB+PC=AP++PE+EF 要使最小只要 AP,PE,EF 在一条直线上, 即如下图:可得最小 L=

 ;

 (2)过 P 点作 BC 的平行线交 AB,AC 与点 D,F。

  由于 ∠APD>∠ATP=∠ADP, 推出 AD>AP

  ① 又 BP+DP>BP

 ② 和 PF+FC>PC

  ③

 又 DF=AF

 ④

 由①②③④可得:最大 L< 2 ;

 由(1)和(2)既得:

 ≤L<2 。

  2.顺时针旋转 △BPC 60 0

 ,可得△PBE 为等边三角形。

 既得 PA+PB+PC=AP+PE+EF 要使最小只要 AP,PE,EF 在一条直线上, 即如下图:可得最小 PA+PB+PC=AF。

 既得 AF=21 3( 1)4 2+ +

 =

 2 3 + = 4 2 32+

  = 2( 3 1)2+ = 2( 3 1)2+

 = 6 22+ 。

 3.顺时针旋转 △ABP

 90 0

 ,可得如下图:

 既得正方形边长 L = 2 22 2(2 ) ( )2 2a + +

 = 5 2 2 a +

 。

 4.在 AB 上找一点 F,使 ∠BCF=60 0

 ,

  连接 EF,DG,既得△BGC 为等边三角形,

  可得∠DCF=10 0

 , ∠FCE=20 0

 ,推出△ABE≌△ACF ,

  得到 BE=CF , FG=GE 。

  推出 :

 △FGE 为等边三角形 ,可得∠AFE=80 0

 ,

  既得:∠DFG=40 0

 ①

  又 BD=BC=BG ,既得∠BGD=80 0

 ,既得∠DGF=40 0

 ②

  推得:DF=DG ,得到:△DFE≌△DGE ,

  从而推得:∠FED=∠BED=30 0

  。

 初中数学几何证明定理

 证明题的思路 很多几何证明题的思路往往是 填加辅助线,分析已知、求证与图形,探索证明。

 对于证明题,有三种思考方式:

 (1) 正向思维 对于一般简单的题目,我们正向思考,轻而易举可以做出,这里就不详细讲述了。

 (2) 逆向思维 顾名思义,就是从相反的方向思考问题。在初中数学中,逆向思维是非常重要的思维方式,在证明题中体现的更加明显。

 同学们认真读完一道题的题干后,不知道从何入手, 建议你从结论出发。

 例如:

 可以有这样的思考过程:要证明某两条边相等,那么结合图形可以看出,只要证出某两个三角形相等即可;要证三角形全等,结合所给的条件,看还缺少什么条件需要证明,证明这个条件又需要怎样做辅助线,这样思考下去……这样我们就找到了解题的思路,然后把过程正着写出来就可以了。

 (3) 正逆结合 对于从结论很难分析出思路的题目,可以结合结论和已知条件认真的分析。

 初中数学中,一般所给的已知条件都是解题过程中要用到的,所以可以从已知条件中寻找思路,比如给我们三角形某边中点,我们就要想到是否要连出中位线,或者是否要用到中点倍长法。给我们梯形,我们就要想到是否要做高,或平移腰,或平移对角线,或补形等等。正逆结合,战无不胜。

 证明题要用到哪些原理? 要掌握初中数学几何证明题技巧,熟练运用和记忆如下原理是关键。

 下面归类一下,多做练习,熟能生巧,遇到几何证明题能想到采用哪一类型原理来解决问题。

 一、证明两线段相等 1.两全等三角形中对应边相等。

 2.同一三角形中等角对等边。

 3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。

 4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。

 5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。

 6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。

 7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。

 8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。

 9.同圆(或等圆)中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。

 10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。

 11.两前项(或两后项)相等的比例式中的两后项(或两前项)相等。

 12.两圆的内(外)公切线的长相等。

 13.等于同一线段的两条线段相等。

 二、证明两个角相等 1.两全等三角形的对应角相等。

 2.同一三角形中等边对等角。

 3.等腰三角形中,底边上的中线(或高)平分顶角。

 4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。

 5.同角(或等角)的余角(或补角)相等。

 6.同圆(或圆)中,等弦(或弧)所对的圆心角相等,圆周角相等,弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。

 7.圆外一点引圆的两条切线,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

 8.相似三角形的对应角相等。

 9.圆的内接四边形的外角等于内对角。

 10.等于同一角的两个角相等。

 三、证明两条直线互相垂直 1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。

 2.三角形中一边的中线若等于这边一半,则这一边所对的角是直角。

 3.在一个三角形中,若有两个角互余,则第三个角是直角。

 4.邻补角的平分线互相垂直。

 5.一条直线垂直于平行线中的一条,则必垂直于另一条。

 6.两条直线相交成直角则两直线垂直。

 7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。

 8.利用勾股定理的逆定理。

 9.利用菱形的对角线互相垂直。

 10.在圆中平分弦(或弧)的直径垂直于弦。

 11.利用半圆上的圆周角是直角。

 四、证明两直线平行 1.垂直于同一直线的各直线平行。

 2.同位角相等,内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。

 3.平行四边形的对边平行。

 4.三角形的中位线平行于第三边。

 5.梯形的中位线平行于两底。

 6.平行于同一直线的两直线平行。

 7.一条直线截三角形的两边(或延长线)所得的线段对应成比例,则这条直线平行于第三边。

 五、证明线段的和差倍分 1.作两条线段的和,证明与第三条线段相等。

 2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段,证明余下部分等于第二条线段。

 3.延长短线段为其二倍,再证明它与较长的线段相等。

 4.取长线段的中点,再证其一半等于短线段。

 5.利用一些定理(三角形的中位线、含 30 度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三角形的重心、相似三角形的性质等)。

 六、证明角的和差倍分 1.与证明线段的和、差、倍、分思路相同。

 2.利用角平分线的定义。

 3.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

 七、证明线段不等 1.同一三角形中,大角对大边。

 2.垂线段最短。

 3.三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边。

 4.在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等,则夹角大的第三边大。

 5.同圆或等圆中,弧大弦大,弦心距小。

 6.全量大于它的任何一部分。

 八、证明两角的不等 1.同一三角形中,大边对大角。

 2.三角形的外角大于和它不相邻的任一内角。

 3.在两个三角形中有两边分别相等,第三边不等,第三边大的,两边的夹角也大。

 4.同圆或等圆中,弧大则圆周角、圆心角大。

 5.全量大于它的任何一部分。

 九、证明比例式或等积式 1.利用相似三角形对应线段成比例。

 2.利用内外角平分线定理。

 3.平行线截线段成比例。

 4.直角三角形中的比例中项定理即射影定理。

 5.与圆有关的比例定理---相交弦定理、切割线定理及其推论。

 6.利用比利式或等积式化得。

 十、证明四点共圆 1.对角互补的四边形的顶点共圆。

 2.外角等于内对角的四边形内接于圆。

 3.同底边等顶角的三角形的顶点共圆(顶角在底边的同侧)。

 4.同斜边的直角三角形的顶点共圆。

 5.到顶点距离相等的各点共圆

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