圆锥曲线拓展知识及证明
位置: 首页 >文档下载 > 党课心得体会 > 文章内容

圆锥曲线拓展知识及证明

2020-10-29 08:34:39 投稿作者: 点击:

 告 理科数学学习报告 2 椭圆的几何性质拓展 班级:209

  姓名:张祺媛

  评定:

  1、 椭圆的切线方程:

 若点0 0( , ) P x y 是椭圆2 22 21x ya b 上任一点,则椭圆过该点的切线方程为:0 02 21x x y ya b  。

 对于这个公理,网上的证明过程涉及到了求导。但我想,用我们现在的知识,也能解决。方法一是我的证明方法,方法二是网上的方法。在后面证明椭圆的光学性质时,会用到这个公理。

 证明:

 方法一:

 【类比圆的切线方程求法,来求椭圆的切线方程。】

 解:设椭圆的方程为

  ①,过 p(

 ,

 )的点的方程为

  ② ① ②

  (

 )

  由②可知,

  ,

 代入上式(非负数和为 0,每个式子都为 0)

 椭圆的切线方程为:

 方法二:

 当 x a   时,过点 P 的切线斜率 k 一定存在,且0"| x x k y

 ∴对①式求导:20222 "byy xa  ∴02020"| x xb xk ya y  ∴切线方程为200 020( )b xy y x xa y    …………② ∵点0 0( , ) P x y 在椭圆2 22 21x ya b  上, 故 2 20 02 21x ya b 

 代入②得0 02 21x x y ya b  …………③ 而当 x a   时,00 y 

  切线方程为 x a   ,也满足③式 故0 02 21x x y ya b  是椭圆过点0 0( , ) P x y 的切线方程.

 2、 椭圆的光学性质 椭圆的光学性质:

 从椭圆一个焦点发出的光,经过椭圆反射后,反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上。(如右图 1)

 证明:由证法一得切线 l 的斜率02020"| x xb xk ya y ,而1PF 的斜率010ykx c,2PF 的斜率020ykx c ∴ l 到1PF 所成的角 "  满足 20 02 2 2 2 2 20 0 0 0 0 12 2 2 20 0 1 0 0 020 0tan "1 ( )1( )y b xx c a y a y b x b cx k kb x y kk a b x y a cyx c a y        图 1

 ∵0 0( , ) P x y 在椭圆2 22 2: 1x yCa b 上 ∴20tan "bcy 

 同理,2PF 到 l 所成的角 "  满足222 0tan1k k bkk cy  ∴ tan " tan "    ,而", " (0, )2  

 ∴ " "   

 椭圆的这种光学特性,常被用来设计一些照明设备或聚热装置.例如在 F 1 处放置一个热源,那么红外线也能聚焦于F 2 处,对 F 2 处的物体加热。

 电影放映机的反光镜也是这个原理。

 3、 椭圆焦点三角形的面积公式 在椭圆 12222 byax( a > b >0 )中,焦点分别为1F 、2F ,点 P 是椭圆上任意一点,  2 1 PFF ,则2tan22 1b SPF F. 证明:

 记2 2 1 1| | , | | r PF r PF   ,由椭圆的第一定义得 . 4 ) ( , 22 22 1 2 1a r r a r r     

 在△2 1 PFF 中,由余弦定理得:

 . ) 2 ( cos 222 12221c r r r r    

 配方得:

 . 4 cos 2 2 ) (22 1 2 122 1c r r r r r r     

 即 . 4 ) cos 1 ( 2 422 12c r r a    

 .cos 12cos 1) ( 22 2 22 1   b c ar r

 由任意三角形的面积公式得:

 2tan2cos 22cos2sin 2cos 1sinsin21222 22 12 1       b b b r r SPF F. .2tan22 1b SPF F 

 4、 小结

 椭圆 双曲线 抛物线 标准方程

 切线方程

  光学性质 从椭圆一个焦点发出的光,经过椭圆反射后,反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上。

 从双曲线一个焦点发出的光,经过双曲线反射后,反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上。

 从抛物线的焦点发出的光,经过抛物线反射后,反射光线都平行于抛物线的轴。

 应用 圆的这种光学特性,常被用来设计一些照明设备或聚热装置.例如在F1处放置一个热源,那么红外线也能聚焦于 F2 处,对 F2 处的物体加热. 双曲线这种反向虚聚焦性质,在天文望远镜的设计等方面,也能找到实际应用

  抛物线这种聚焦特性,成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择.例如探照灯、汽车大灯、卫星通讯、太阳能热水器。

  焦点三角形面积公式

  (证明过程见第4次小测背面第 2 题)

 。。。。。。

猜你喜欢
推荐图文